Apolona blīve ir fraktāļu attēla veids, kas veidojas no arvien sarūkošo apļu kolekcijas, kas atrodas vienā lielā aplī. Katrs Apolona blīves aplis ir pieskaras blakus esošajiem apļiem - citiem vārdiem sakot, Apolona blīves apļi saskaras bezgalīgi mazos punktos. Šis fraktāļu veids, kas nosaukts grieķu matemātiķa Apollonija Perga vārdā, var zīmēt (ar rokām vai ar datoru) līdz saprātīgai sarežģītības pakāpei, veidojot skaistu, pārsteidzošu attēlu. Lai sāktu, skatiet 1. darbību.
Soļi
1. daļa no 2: Izprotiet galvenos jēdzienus
Lai būtu pilnīgi skaidrs, ja jūs vienkārši interesē Apolona blīves zīmēšana, nav obligāti jāizpēta matemātikas principi, kas slēpjas aiz fraktāla. Tomēr, ja vēlaties dziļāku izpratni par Apollonian Gaskets, ir svarīgi saprast vairāku jēdzienu definīcijas, kuras mēs izmantosim, tos apspriežot.
1. solis. Definējiet galvenos terminus
Tālāk sniegtajos norādījumos tiek izmantoti šādi termini:
- Apolona blīvējums: viens no vairākiem fraktāļu tipa nosaukumiem, kas sastāv no virknes apļu, kas izvietoti vienā lielā aplī un pieskaras visiem citiem tuvumā esošajiem. Tos sauc arī par "Soddy Circles" vai "Kissing Circles".
- Apļa rādiuss: attālums no apļa centra punkta līdz tā malai. Parasti tiek piešķirts mainīgais r.
- Apļa izliekums: rādiusa pozitīvais vai negatīvais apgrieztais lielums vai ± 1/r. Izliekums ir pozitīvs, aplūkojot apļa ārējo izliekumu, un negatīvs iekšējam izliekumam.
- Pieskare: termins, ko piemēro līnijām, plaknēm un formām, kas krustojas vienā bezgalīgi mazā punktā. Apolonijas blīvēs tas attiecas uz faktu, ka katrs aplis pieskaras katram tuvumā esošajam lokam tikai vienā punktā. Ņemiet vērā, ka nav krustojuma - pieskares formas nepārklājas.
2. solis. Izprotiet Dekarta teorēmu
Dekarta teorēma ir formula, kas ir noderīga, lai aprēķinātu apolu izmērus Apolona blīvē. Ja jebkuru trīs apļu izliekumus (1/r) definējam attiecīgi kā a, b un c, teorēma nosaka, ka apļa (vai apļu) izliekums, kas pieskaras visiem trim, kurus mēs definēsim kā d, ir: d = a + b + c ± 2 (kv. (a × b + b × c + c × a)).
Mūsu nolūkos mēs parasti izmantosim tikai iegūto atbildi, ievietojot plus zīmi kvadrātsaknes priekšā (citiem vārdiem sakot,… + 2 (kv. (…))). Pagaidām pietiek zināt, ka atņemšana vienādojuma formu var izmantot citos saistītos uzdevumos
2. daļa no 2: Apolona blīves konstruēšana
Apolonijas blīves izpaužas kā skaisti sarūkošu apļu fraktāļi. Matemātiski Apolona blīvēm ir bezgalīga sarežģītība, taču neatkarīgi no tā, vai izmantojat datora zīmēšanas programmu vai tradicionālos zīmēšanas rīkus, jūs galu galā sasniegsit punktu, kurā nav iespējams uzzīmēt mazākus apļus. Ņemiet vērā, ka, jo precīzāk zīmēsiet savus apļus, jo vairāk varēsiet iekļauties savā starplikā.
1. solis. Apkopojiet digitālos vai analogos zīmēšanas rīkus
Veicot tālāk norādītās darbības, mēs izgatavosim savu vienkāršo Apolona blīvi. Apollonijas blīves ir iespējams uzzīmēt ar rokām vai datorā. Jebkurā gadījumā jūs vēlaties uzzīmēt perfekti apaļus apļus. Tas ir diezgan svarīgi. Tā kā katrs Apolona blīves aplis ir perfekti pieskaras blakus esošajiem apļiem, apļi, kas ir pat nedaudz izkropļoti, var "izmest" jūsu galaproduktu.
- Ja zīmējat starpliku datorā, jums būs nepieciešama programma, kas ļauj viegli uzzīmēt fiksēta rādiusa apļus no centrālā punkta. Var izmantot Gfig, vektoru zīmēšanas paplašinājumu bezmaksas attēlu rediģēšanas programmai GIMP, kā arī dažādas citas zīmēšanas programmas (attiecīgās saites skatīt materiālu sadaļā). Jums, iespējams, būs nepieciešama arī kalkulatora lietojumprogramma un tekstapstrādes dokuments vai fiziska piezīmju grāmatiņa, lai veiktu piezīmes par izliekumiem un rādiusiem.
- Lai zīmētu blīvi ar rokām, jums būs nepieciešams kalkulators (ieteicams zinātnisks vai grafisks), zīmulis, kompass, lineāls (vēlams skala ar milimetru atzīmēm, grafiskais papīrs un piezīmju grāmatiņa piezīmju veikšanai.
2. solis. Sāciet ar vienu lielu apli
Jūsu pirmais uzdevums ir vienkāršs - vienkārši uzzīmējiet vienu lielu, pilnīgi apaļu apli. Jo lielāks aplis, jo sarežģītāks var būt jūsu blīvējums, tāpēc mēģiniet izveidot tik lielu apli, cik atļauj papīrs, vai tik lielu, cik viegli varat redzēt vienā zīmēšanas programmas logā.
Solis 3. Izveidojiet mazāku apli oriģināla iekšpusē, pieskaroties vienai pusei
Pēc tam pirmajā ievelciet citu apli, kas ir mazāks par oriģinālu, bet tomēr ir diezgan liels. Precīzs otrā apļa izmērs ir atkarīgs no jums - nav pareiza izmēra. Tomēr savos nolūkos uzzīmēsim savu otro apli tā, lai tas sasniegtu tieši pusi no mūsu lielā ārējā apļa. Citiem vārdiem sakot, uzzīmēsim savu otro apli tā, lai tā centrālais punkts būtu lielā apļa rādiusa viduspunkts.
Atcerieties, ka Apolona blīvēs visi apļi, kas pieskaras, ir pieskaras viens otram. Ja izmantojat kompasu, lai zīmētu apļus ar rokām, izveidojiet šo efektu, noliekot kompasa aso punktu lielā ārējā apļa rādiusa viduspunktā, pielāgojot zīmuli tā, lai tas tikai pieskartos lielā apļa malai, tad uzzīmējiet savu mazāko iekšējo apli
4. solis. Uzzīmējiet identisku apli "pāri" mazākajam iekšējam aplim
Tālāk uzzīmēsim vēl vienu apli pāri mūsu pirmajam. Šim aplim vajadzētu pieskarties gan lielajam ārējam aplim, gan mazākajam iekšējam aplim, kas nozīmē, ka jūsu divi iekšējie apļi pieskarsies lielā lielā ārējā apļa precīzā viduspunktā.
5. solis. Izmantojiet Dekarta teorēmu, lai atrastu nākamo loku lielumu
Uz brīdi pārstāsim zīmēt. Tagad, kad mūsu blīvē ir trīs apļi, mēs varam izmantot Dekarta teorēmu, lai atrastu nākamā apļa rādiusu. Atcerieties, ka Dekarta teorēma ir d = a + b + c ± 2 (kv. (a × b + b × c + c × a)), kur a, b un c ir jūsu trīs pieskares apļu izliekumi un d ir apļa izliekums, kas pieskaras visiem trim. Tātad, lai atrastu mūsu nākamā apļa rādiusu, atradīsim katra līdz šim esošā apļa izliekumu, lai mēs varētu atrast nākamā apļa izliekumu, pēc tam pārvēršot to rādiusā.
-
Definēsim mūsu ārējā apļa rādiusu kā
1. darbība.. Tā kā pārējie apļi atrodas šajā lokā, mēs nodarbojamies ar tā iekšējo izliekumu (nevis ārējo izliekumu), un līdz ar to mēs zinām, ka tā izliekums ir negatīvs. -1/r = -1/1 = -1. Lielā apļa izliekums ir - 1.
-
Mazāko apļu rādiuss ir uz pusi lielāks nekā lielā apļa rādiuss vai, citiem vārdiem sakot, 1/2. Tā kā šie apļi pieskaras viens otram un lielajam aplim ar ārējo malu, mēs nodarbojamies ar to ārējo izliekumu, tāpēc to izliekumi ir pozitīvi. 1/(1/2) = 2. Mazāko apļu izliekumi ir abi
2. solis..
-
Tagad mēs zinām, ka a = -1, b = 2 un c = 2 mūsu Dekarta teorēmas vienādojumam. Atrisināsim d:
- d = a + b + c ± 2 (kv. (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (kv. (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (kv. (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. Mūsu nākamā apļa izliekums ir
3. solis.. Tā kā 3 = 1/r, mūsu nākamā apļa rādiuss ir 1/3.
6. Izveidojiet savu nākamo loku kopu
Izmantojiet tikko atrasto rādiusa vērtību, lai uzzīmētu nākamos divus apļus. Atcerieties, ka tie pieskaras apļiem, kuru izliekumus jūs izmantojāt a, b un c Dekarta teorēmā. Citiem vārdiem sakot, tie pieskaras gan sākotnējam, gan otrajam lokam. Lai šie apļi pieskartos visiem trim apļiem, jums tie jāzīmē brīvā laukuma laukuma augšējā un apakšējā daļā lielā sākotnējā apļa iekšpusē.
Atcerieties, ka šo apļu rādiuss būs vienāds ar 1/3. Izmēriet 1/3 atpakaļ no ārējā apļa malas, pēc tam uzzīmējiet jauno apli. Tam vajadzētu pieskarties visiem trim apkārtējiem apļiem
7. solis. Turpiniet šādi, lai turpinātu pievienot lokus
Tā kā tie ir fraktāļi, Apolona blīves ir bezgala sarežģītas. Tas nozīmē, ka pēc sirds patikas varat pievienot arvien mazākus lokus. Jums ir ierobežota tikai jūsu rīku precizitāte (vai, ja izmantojat datoru, jūsu zīmēšanas programmas iespēja "tuvināt"). Katram aplim, lai cik mazs tas būtu, vajadzētu pieskarties trim citiem apļiem. Lai zīmētu katru nākamo apli savā starplikā, pievienojiet Dekarta teorēmai to trīs apļu izliekumus, kuriem tā būs pieskare. Pēc tam izmantojiet savu atbildi (kas būs jūsu jaunā apļa rādiuss), lai precīzi uzzīmētu savu jauno apli.
- Ņemiet vērā, ka blīvējums, kuru esam izvēlējušies zīmēt, ir simetrisks, tāpēc viena apļa rādiuss ir tāds pats kā atbilstošais aplis "pāri tam". Tomēr ziniet, ka ne katrs Apolona blīvējums ir simetrisks.
-
Apskatīsim vēl vienu piemēru. Pieņemsim, ka pēc pēdējās apļu kopas uzzīmēšanas mēs tagad vēlamies uzzīmēt apļus, kas pieskaras mūsu trešajai kopai, otrajai kopai un lielajam ārējam aplim. Šo apļu izliekumi ir attiecīgi 3, 2 un -1. Pievienosim šos skaitļus Dekarta teorēmai, nosakot a = -1, b = 2 un c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (kv. (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (kvadrāts (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (kv. (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (kv. (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. Mums ir divas atbildes! Tomēr, tā kā mēs zinām, ka mūsu jaunais aplis būs mazāks par jebkuru apli, kuram tas ir pieskaras, tikai izliekums
6. darbība. (un tāpēc rādiuss no 1/6) ir jēga.
- Mūsu otrā atbilde, 2, faktiski attiecas uz hipotētisko apli mūsu otrā un trešā apļa pieskares punkta otrā pusē. Šis aplis ir pieskaras abiem šiem apļiem un lielajam ārējam aplim, taču tas krustojas jau zīmētos apļus, tāpēc varam to neņemt vērā.
8. solis. Lai izaicinātu, mēģiniet izveidot nesimetrisku Apolona blīvi, mainot otrā apļa izmēru
Visas Apolona blīves sākas vienādi - ar lielu ārējo apli, kas darbojas kā fraktāla mala. Tomēr nav iemesla, ka jūsu otrajam aplim obligāti jābūt 1/2 rādiusam no pirmā - mēs vienkārši izvēlējāmies to darīt iepriekš, jo tas ir vienkārši un viegli saprotams. Izklaides nolūkos mēģiniet sākt jaunu starpliku ar citu cita izmēra apli - tas novedīs pie jauniem aizraujošiem izpētes ceļiem.
