Racionāla funkcija ir vienādojums, kas izpaužas kā y = N (x)/D (x), kur N un D ir polinomi. Mēģinājums ar roku uzzīmēt precīzu grafiku var būt visaptverošs pārskats par daudzām vissvarīgākajām vidusskolas matemātikas tēmām, sākot no pamata algebras līdz diferenciālam aprēķinam. Apsveriet šādu piemēru: y = (2 x 2 - 6 x + 5)/(4 x + 2).
Soļi
1. solis. Atrodiet y pārtveršanu
Vienkārši iestatiet x = 0. Viss, izņemot nemainīgos, pazūd, atstājot y = 5/2. Izsakot to kā koordinātu pāri, (0, 5/2) ir grafika punkts. Grafējiet šo punktu.
2. solis. Atrodiet horizontālo asimptotu
Ilgi sadaliet saucēju skaitītājā, lai noteiktu y uzvedību lielām absolūtām x vērtībām. Šajā piemērā dalījums parāda, ka y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4). Lielām pozitīvām vai negatīvām x vērtībām 17/(8 x + 4) tuvojas nullei, un grafiks tuvina līniju y = (1/2) x - (7/4). Izmantojot punktētu vai viegli novilktu līniju, uzzīmējiet šo līniju.
- Ja skaitītāja pakāpe ir mazāka par saucēja pakāpi, dalīšana nav jāveic, un asimptote ir y = 0.
- Ja deg (N) = deg (D), asimptote ir horizontāla līnija pie vadošo koeficientu attiecības.
- Ja deg (N) = deg (D) + 1, asimptote ir līnija, kuras slīpums ir vadošo koeficientu attiecība.
- Ja deg (N)> deg (D) + 1, tad lielām vērtībām | x |, y ātri pāriet uz pozitīvu vai negatīvu bezgalību kā kvadrātiskais, kubiskais vai augstākās pakāpes polinoms. Šajā gadījumā, iespējams, nav vērts precīzi grafiski sadalīt dalījuma koeficientu.
Solis 3. Atrodiet nulles
Racionālai funkcijai ir nulle, ja tās skaitītājs ir nulle, tāpēc iestatiet N (x) = 0. Piemērā 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. Šī kvadrāta diskriminants ir b 2 - 4 maiņstrāvas = 62 - 4*2*5 = 36-40 = -4. Tā kā diskriminants ir negatīvs, N (x) un līdz ar to f (x) nav reālu sakņu. Diagramma nekad nešķērso x asi. Ja tika atrastas nulles, pievienojiet šos punktus grafikam.
Solis 4. Atrodiet vertikālos asimptotus
Vertikālā asimptote rodas, ja saucējs ir nulle. Iestatot 4 x + 2 = 0, tiek iegūta vertikālā līnija x = -1/2. Grafējiet katru vertikālo asimptotu ar gaišu vai punktētu līniju. Ja kāda x vērtība padara gan N (x) = 0, gan D (x) = 0, tur var būt vai nebūt vertikāls asimptots. Tas ir reti, taču skatiet padomus, kā rīkoties, ja tā notiek.
Solis 5. Apskatiet atlikušo dalījumu 2. darbībā
Kad tas ir pozitīvs, negatīvs vai nulle? Piemērā atlikušās daļas skaitītājs ir 17, kas vienmēr ir pozitīvs. Saucējs 4 x + 2 ir pozitīvs pa labi no vertikālās asimptotes un negatīvs pa kreisi. Tas nozīmē, ka grafiks tuvojas lineārajam asimptotam no iepriekšminētā lielām pozitīvām x vērtībām un no apakšas lielām negatīvām x vērtībām. Tā kā 17/(8 x + 4) nekad nevar būt nulle, šis grafiks nekad nekrusto taisni y = (1/2) x - (7/4). Šobrīd nepievienojiet grafikam neko, bet ņemiet vērā šos secinājumus vēlākam laikam.
6. solis. Atrodiet vietējo galējību
Vietējā ekstremitāte var rasties ikreiz, kad N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0. Piemērā N '(x) = 4 x - 6 un D' (x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5)*4 = 0. Paplašinot, apvienojot terminus un dalot ar 4 lapām x 2 + x - 4 = 0. Kvadrātiskā formula parāda saknes pie x = 3/2 un x = -5/2. (Tie atšķiras par aptuveni 0,06 no precīzām vērtībām, taču mūsu diagramma nebūs pietiekami precīza, lai uztrauktos par šo detalizācijas pakāpi. Izvēloties pienācīgu racionālu tuvinājumu, nākamais solis ir vieglāks.)
7. solis. Atrodiet katras vietējās ekstremitātes y vērtības
Ievietojiet x vērtības iepriekšējā solī atpakaļ sākotnējā racionālajā funkcijā, lai atrastu atbilstošās y vērtības. Piemērā f (3/2) = 1/16 un f (-5/2) = -65/16. Pievienojiet grafikam šos punktus (3/2, 1/16) un (-5/2, -65/16). Tā kā mēs tuvinājāmies iepriekšējā solī, tie nav precīzi minimumi un maksimumi, bet, iespējams, ir tuvu. (Mēs zinām, ka (3/2, 1/16) ir ļoti tuvu vietējam minimumam. No 3. darbības mēs zinām, ka y vienmēr ir pozitīvs, ja x> -1/2, un mēs atklājām, ka vērtība ir tik maza kā 1/16, tāpēc vismaz šajā gadījumā kļūda, iespējams, ir mazāka par līnijas biezumu.)
8. solis. Savienojiet punktus un vienmērīgi paplašiniet grafiku no zināmajiem punktiem līdz asimptotēm, cenšoties tiem tuvoties pareizajā virzienā
Uzmanieties, lai netiktu šķērsota x ass, izņemot 3. punktā jau atrastos punktus. Nešķērsojiet horizontālo vai lineāro asimptotu, izņemot 5. solī jau atrastos punktus. Nemainiet no slīpa uz augšu uz leju, izņemot galējā, kas konstatēta iepriekšējā solī.
Video - izmantojot šo pakalpojumu, daļa informācijas var tikt kopīgota ar pakalpojumu YouTube
Padomi
- Dažas no šīm darbībām var ietvert augsta polinoma atrisināšanu. Ja jūs nevarat atrast precīzus risinājumus, izmantojot faktorizāciju, formulas vai citus līdzekļus, novērtējiet risinājumus, izmantojot skaitliskas metodes, piemēram, Ņūtona metodi.
- Ja veicat norādītās darbības, parasti nav nepieciešams izmantot otrā atvasinājuma testus vai līdzīgas potenciāli sarežģītas metodes, lai noteiktu, vai kritiskās vērtības ir vietējie maksimumi, vietējie minimumi vai ne viens. Vispirms mēģiniet izmantot iepriekšējo darbību informāciju un nedaudz loģikas.
- Ja jūs mēģināt to izdarīt tikai ar precalculus metodēm, varat aizstāt vietējās galējības noteikšanas darbības, aprēķinot vairākus papildu (x, y) sakārtotus pārus starp katru asimptotu pāri. Alternatīvi, ja jums nav vienalga, kāpēc tas darbojas, nav iemesla, kāpēc precalculus students nevar ņemt polinoma atvasinājumu un atrisināt N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0.
-
Retos gadījumos skaitītājam un saucējam var būt kopīgs nemainīgs faktors. Ja veicat šīs darbības, tas tiek parādīts kā nulle un vertikāls asimptots tajā pašā vietā. Tas nav iespējams, un tas, kas patiesībā notiek, ir viens no šiem:
- Nulles N (x) reizinājums ir lielāks nekā nullei D (x). F (x) grafiks šajā brīdī tuvojas nullei, bet tur nav definēts. Norādiet to ar atvērtu apli ap punktu.
- Nullei N (x) un nullei D (x) ir vienāds reizinājums. Grafiks šai x vērtībai tuvojas kādam punktam, kas nav nulle, bet tur nav definēts. Vēlreiz norādiet to ar atvērtu apli.
- Nulles N (x) reizinājums ir mazāks nekā nullei D (x). Šeit ir vertikāls asimptots.
